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简单题，但脑抽了。 这个题目本质上就是让我们算这个每个位置的系数。（因为他可以通过类似哈希来检验你的系数，就算你有不算出系数的方法，那通过他的不同数据一定能唯一确定系数） 好的我们很容易得到一个 $O(n^3)$ 的做法，设 $f_{i,j}$ 为第 $i$ 轮第 $j$ 个数的系数，然后枚举你当前选择哪一个。然后便是 $O(n^2)$ 的。你发现对每个 $f_{i,j}$ 他只从 $f_{i-1,j}$ 和 $f_{i-1,j-1}$ 转移过来。然后就方了。 如何继续优化？显然你可以把每轮的除以 $i-1$ 和除以 $2$ 拎出来。然后你对着剩下的表进行干瞪。你通过瞎试发现他一定是 $\binom{i-1}{j-1}$ 的倍数。然后你对他除完之后的进行因式分解。然后发现除完之后是两个双阶乘的积。然后你就糊里糊涂地做完了，但并不知道这个组合意义。这不乏为一种方法但多少有点唐了。 然后说正解，实际上你发现我糖丸了。你还可以继续拎。具体思想就还是考虑不变量以及图论建模。我们把他变成在自动机上走，然后你发现你每增加 $j$ 就会乘上固定贡献，每增加 $i-j$ 也会乘上固定贡献。于是我们发现这两个贡献与你走的路径无关，乘上的东西都是一定的。然后贡献就是两个双阶乘，而你的路径数就是 $\binom{i-1}{j-1}$。

这是一个“分步”进行构造的过程，每一步关联不大。所以我们先研究每一步有什么性质。 假设你现在有长度为 $n$ 的序列，你需要在第 $i$ 个元素之后插入一个 $x$，字典序变大当且仅当？ 你考查你插入后的序列，找到那个你插入的元素。其后面第一个第一个与前一个数字不同的数字比他前面的数字大，或者其后面的所有数字相等。 好吧我错了。 考虑加元素是困难的，考虑删元素。 然后你发现对于一个连续段来讲你删任意一个都是等价的，所以我们钦定每次删最右边那个。 这相当于每次删 $a_i > a_{i+1}$ 的地方。这看起来容易多了。 我错了，我好菜。 我们设 $f_{i,j}$ 为考虑长度为 $i$，值域为 $k$ 的。 我一直在试图一个一个加，结果发现还是做不了。 主要是你发现这个东西你还是要知道全局信息。 题解说：我们分治！ 然后你直接枚举 $1$ 的出现位置和出现时间，然后分成前后两半。 做完了。 为什么我这么蠢啊。

首先把如果 $b > r$ 那肯定选蓝，一定不劣。 然后我们就再把 $r-=b$ 然后就变成了你选一个子序列使得 $\sum r - 逆序对数$ 最大。 然后我们显然 DP 记录前面用了多少个 $0$。 $f_{i,j}$ 表示当前考虑了 $[1,i]$ 的下标，前面用了 $j$ 个 $1$。 然后转移显然好转移，考虑优化。

首先我们发现其实这个东西是可以分类讨论的。 对于 $(2i-1,2i)$ 这样的二元组讨论。 若两者都不是 $-1$ 则直接跳过。（甚至可以直接离散化掉） 若两者都是 $-1$ 则可以放在一起算。具体来讲，我们可以数一共有多少个这样的二元组，然后我们只要算全是 $-1$ 的答案，然后再乘上把这些二元组去掉之后的答案即可。（因为对于其他的二元组确定的情况下，实际上的方案数总是相同的） 比如有 $k$ 个二元组，然后你考虑钦定哪些数作为二元组中的更小值，然后再排列一下。钦定的方案数为 $Catalan(k)$。因为注意到你本质上要求对于任意前缀，选的作为最小值的个数 $\ge$ 作为最大值的个数。然后排列即为 $k!$，即答案为 $Catalan(k)k!$。 现在我们只要专心考虑恰好有一个 $-1$ 的即可。 我们先考虑简单的情况，假设整个排列都是一个 $-1$ 和一个非 $-1$。 然后这个时候开始 DP。 我们发现这个顺序根本不重要，我们只要给他们染色然后配对即可。最终再乘上阶乘。 我们如法炮制，还是按值域排在一起，发现我们可以从大到小做。 我们称已经被填入的为白点，我们要填的是黑点。 设 $f_{i,j,k}$ 为当前处理了值域在 $[i,n]$ 内的东西，其中钦定 $j$ 个 $[1,i)$ 中的黑点，$k$ 个 $[i,n]$ 内的黑点已经被预留了。 然后直接转移即可。 调半天过不了样例。 问题在于，实际上你不能在 dp 的时候简单地只看你留了几个来考虑这个 $(-1,-1)$ 二元组，你要把他放进去算，因为实际上这个预留与实际上还是有一些区别的，因为你可能可以填上这个东西。

如何思考？在如今这个阶段没有良好的思维习惯恐怕是举步维艰。 使用记录工具，例如在电脑上进行 markdown 打字。这样应该可以显著提升思维的深度。 别躺床上想题！这样很容易变懒散。不想动。 排除干扰，尤其忌讳思考一半打断，这会消除思考的惯性。使你注意力涣散。 思考的时候要试着去从本质上，从抽象上看问题，越本质越好。这样能排除 corner case 的影响，使整个问题变得形式简洁，容易被一次性处理。 主动出击而非守株待兔。 主动打表 主动猜结论 主动尝试方向 主动手玩样例 在记录了目前思路之后如果没有头绪。不妨回头看你想到的思路，试着想想如果反过来会怎么样，推敲每一步是否有其他道路。这可能会发现你一些错误的惯性所带来的疏忽。 放平心态，心如止水。不要急。就算快想出来了也要严格验证。不然容易最后临门一脚踢歪了。 思考时应该要试图在不同事物间建立联系。把他们连成一个整体。 善用潜意识，想不出来可以先换题，过会儿再想。 有危机感！不要懒散。 要坚信这个题目是想的出来的。 当你发现你走的很深的时候立马掉头。不能一条路走到黑。

我意识到了我做 DP 的严重问题。我非常习惯于说去推结论和性质，结果迟迟没有开始试图设计状态。对 DP 理解的非常的不深刻。在推性质的时候应该主动像 DP 上靠。而不是先推再说。要主动地设计状态，尝试几种经典的状态设计。然后试图找出关系。或者是先找出子结构之间的联系。 DP 的本质就是子结构。要主动洞察这个题目有哪些子结构，以及他们之间的良好性质，而不是仅靠“发现”。 我觉得我设计暴力 DP 这件事比 DP 优化更困难。因为我并没有养成这种良好的思维习惯。 开始正题。 这个题目首先就是我们 feel 一下这个题目。 一个 native 的想法是考虑从小到大以 popcnt 为层推进。然后呢你其实可以把他看成一个金字塔。然后你想一下，比如说你当前先把单个元素染个色。然后对于横跨的，怎么办？实际上对于这些横跨的不能随便染色，反例：RBBR 13 24 R 14 23 B 然后就炸了。 然后呢我就摆了，也许是畏惧吧。 你其实可以推进一步，你思考为什么会炸。 因为 R 和 B 的并都是 S。 然后显然 R 和 B 的并不能都不是 S。 然后如果 S 是 R 那一定是 R 的并是 S。反过来同理。 实际上现在你可以直接开始试图设计状态了。 比如你很经典地你设 $f_{S,0/1}$ 为 $S$ 内染色，然后颜色为 $0/1$。然后这个时候你想怎么转移。 你发现你好转移啊，你找这个并不是当前颜色的并。然后你发现其实这个并一定得是对应的 $f$ 然后你直接转移即可。 优化用脚优化。你直接一个一个加即可，套路。

观察 1: 这个区间其实跟左端点的关系不大，跟右端点关系更大。 于是我们可以想到从左到右考虑，于是乎我们发现了一个 $O(n^2)$ 的做法。 我们设我们当前决策了是否要激活 $[1,i]$ 且激活了 $i$ 的最大代价为 $f_i$。 然后转移就是枚举 $j < i$，然后减去多于代价，加上新的。 我们考虑优化他。 首先新的贡献是跟 $j$ 无关的。 然后剩下的呢，我们考虑我们往右扫。维护右端点在 $i$ 右边的区间。然后你把他们的左端点放在线段树里，你每删除一个线段，就在对应的区间内将线段树减一。然后相当于要区间 $y_i$ 加，区间 $x_iy_i$ 最小值。然后你发现这是 KTT 板子。 做完了。

自己想出来了。 他这个 $p_1$ 和 $p_n$ 的限制本质上是因为一个排列和其颠倒过来的是不可区分的，因此我们只要最后判一下即可，之前完全不需要考虑这个条件。 首先他既然说 randomness 那我们就 random。 然后我们看到 $\mod 3$ 我们应该要向同余类的方向想。 然后我们如何获得同余类？这个是好做的，对于每个点，随机取一个点，query 一下，选到同余类的点的概率为 $\cfrac{1}{3}$，因此我们期望 $3n$ 次获得同余类。 然而我们并不知道同余类哪个是 $0,1,2$ 然而其实我们只要知道循环的方向即可。然后我们发现循环的方向都不需要知道，因为循环方向变了就是排列翻转了，我们随便指定一个方向。 然后我们发现我们已经可以比较大小了，如果 $x,y$ 不在一个同余类里，则可以比较但同余类内部无法比较。 我们相当于要做这个排序。而排序本质上是用子结构堆起来。（不管是什么排序） 然而我们发现如果在当前子结构中有两个相同同余类的点对其他所有的结果都相同我们根本没法区分。 但其实我们根本不用区分，我们把这些东西打包起来，要用的时候拿我们当前的值对这些东西依次问一遍。 然后我们感觉一下我们发现这个期望并不会增加多少的询问次数。因为一个很大的连续同同余类的段的出现概率指数下降。 然后我们其中一个想法是使用插入排序，每次二分大概位置，然后暴力扫描，使用平衡树即可，但实现难度有点高。 另一个想法是，我们使用归并排序。我们每次在归并的时候，如果遇到大包就把他们两两问一遍，这个明显容易的多。

非常欢迎跟我在评论区随机说话。 萨特有一句话 存在先于本质。我不想认同，因为我觉得存在主义根植虚无主义，是对他的一种“扬弃”。但我不理解为什么一定要有本质呢。一切事物可以只是存在，不需要有本质和意义，那我大可以想做什么就做什么，不受意义和本质的束缚。但你可能要问了，那我的这种思考是不是我的本质的一部分呢。当然是啊，他也许确实是对的。但我既然可以做我任何想的事，那我自然也可以不认同“真理”咯。而且再者我他只是不需要有本质和意义，如果你硬要加，也是可以的，你乐意就好了。我大可以在我想要认同他的时候认同他，你觉得我做的这种是选择是本质那他可以是，但不一定是，我不喜欢他是本质，于是在我这里他就不是。别人当然也可以不认同我啊，这种事情家常便饭。 起点是 意义焦虑，我突然反应过来不是所有东西都要有意义。例如天上的流星，他并不是为你而流，你却声称他对你有意义。这很荒诞。因此我说，事物不需要有意义，当然比如你给别人送的钻戒他可以有意义，但不是一定的，当他从工厂里生产出来的时候他是没有意义的。当他被放进墓中，墓的主人被人所遗忘之后，他又变得没有意义。就算他戴在一对夫妻的手指上，他对你可能也是没有意义的。那他有没有意义完全取决于你，你认同他们的爱情，他就有意义，你不想管他们，他就没有意义。进而拓展到真理，人们信真理是因为对他的信仰式崇拜，没有理由，因为任何体系无法自证。那我如果说，我不想管真理是什么，那你当然也可以认为真理没有意义，你不必认同他，但当你想研究问题的时候，你可以认同真理。 我是非常奇怪的。我在思考自身问题和思考宏大的社会问题的时候变得思维异常快速和敏锐，给我的感觉像完全不一样的一个人格，他 act as a watcher，换句话来说他做的是元认知工作。但大部分平常情况下都做不到这样的思维状态。 我不是讨厌情绪的，反而我非常喜欢他。但情绪会像狗狗一样咬人，这个时候我们要把他关起来。这听起来似乎是奇怪的，因为情绪，情感和理性已经深深根植于集体无意识和言语之中。但我们不是消灭他，而是让理性和他互相制约。从旁观的角度让他自然消失。怎么关？用理性结构把他拆散，解构。一枚核弹是威力巨大的，但核材料，外壳，引爆装置的威力远不如他。情绪的作用来源于他的整体。就好像人是有思想的，但头部，四肢，躯干是没有思想的。这是表面上的解构。而进一步的解构是离他远远的，看清楚他。要自我制造疏离感。通过陌生化，旁观化，来消除他带来的作用。通常的办法是调用另一个人格。情绪不是一个真实物体，当他的作用消失了，那他本体就消失了。 但这只是把狗狗关起来，还要想办法安抚他，不然开了笼子他又会跑出来。通过代理发泄或者直接发泄的方式可以让他不再压抑到心底，而是让他自然消散，变成经验。常见的代理发泄：rock，breakcore。直接发泄：随机说话。但你要这样想：我们既然花了这么大的代价把他关起来，总得让他长长记性。于是我们可以重新去思考，这个事情是为什么发生的，这时你用的是 watcher 的话通常会得出一个看起来很像废话的结论，但完美规避了对自我价值的否定。因为往往我们否定自己只是因为过度解读。 我最喜欢的就是想做什么做什么，这同时给了我消极自由和积极自由（也许听起来很奇怪）。这是完全符合我对主体性的追求的。我当然是没有完全主体性的（由于无意识人类也不可能做到），但这构成了一个主体性++的循环。但我一直追求的都是 truly 愉悦。你判断一个愉悦是否 true 需要你开 watcher。比如我明显觉得我刷知乎是完全不 true 的。因为我看到的 99.9% 是激烈的观点输出与立场站边，我觉得我看到了新思想。实则都是一个个张嘴闭嘴价值判断。而剩下的 0.1% 呢？也许有营养但完全不足以补足我的损耗。这种情况下我是被渴望的多巴胺所掌控了的。而 truly 的愉悦像是我在写这些东西。我觉得我得到了一种向外输出的快感，尽管可能全是问题和漏洞。但有漏洞，矛盾和问题那我就更开心了，这展开了新的思考方向。而且有趣的是 truly 愉悦与在真实中有助于生活的更好的活动是高度重合的，有可能是人类和其社会的进化演变出的无意识吧。 我之前似乎是喜欢去刻意追求归属感和认同感的。但我逐渐意识到这比较唐。归属感的来源是在于你在一个集体中给你带来的愉悦。但这个愉悦有两种，一种是“属于集体”本身的愉悦。另一种是与具体的人的联结的愉悦。“属于集体”这种愉悦的来源是你期望获得与具体的人的联结。这在确实有具体的人时是一大动力。但现在的网络社会到处都是标签，每个标签都在引诱你：贴上这个标签并加入这个群体。而我们真的就被这所吸引，贴上了这个标签，并假想自己身后有一个庞大的群体在为你撑腰。这与所谓的“想象的共同体”有异曲同工之妙。但往往你的身后这个真正的群体并不存在。他们只是一个个主动给自己贴上了标签的人。这个时候你与他们产生联结，只是因为你们都想获得一个联结，而不是基于人对人的直接联结。这种联结往往提供不了更多的情绪价值。而反而你为了维护自己越来越多的标签与人设中丧失了自己的主体性，而且你一直在渴望，却从未得到，这是彻底的 false 愉悦。这也是为什么我说：“we want, we ask, we build then we act as it, until realizing it’s not true.” 先写这么多。 更。 说到理性压制情绪，便要谈到情绪压制理性，正如我开头所说的，我并不是纯粹的理性主义者。我曾经是，但我逐渐意识到了其根本上的问题，一来逻辑或者说理性本质上考查的是数学结构或者说逻辑结构，他是基于关系的，他预设几个公理然后推导，这相当于是命题与公理的关系，而不是命题的内在属性。而放到生活的选择之中就出现极大的问题，不存在一个所谓的先验的绝对目的，我们生活之中会根据所见调整目的便是最好的证明，而因此所谓的公理则无从谈起。逻辑在认知和论断上显得苍白无力。二来正如我所说，情绪，情感等他是作为整体存在的，他们可以拆开，但拆开后的加和不再是其本身，而逻辑追求第一性原理，天然地想要去把他拆开。我不得不承认我与尼采的思想不谋而合，在我知道尼采之前，我就有过关于一整个我称之为“狂”和“强唤醒度低指向性”情绪的思维架构，我同样指向了直接泼洒情绪的艺术作为载体的模式。这在现在看来其实就是所谓的关于酒神和生命力的讨论。至于尼采的具体思想我在此不赘述。说到这里我承认我是向往艺术的。从我“开智”以来我好像一直在寻求表达，一种能直接传递的情绪浪潮。无论以什么形式，我总感觉在表达的时候有一种深层次的快感，尽管在外人看起来无比笨拙。 更。 是你醉了，还是我醉了？ 我真的很喜欢写意识流的东西，这给我一种不加磨损的直接表达。 我最早喜欢音乐是当时误打误撞听到了凛冽时雨，然后我觉得戳上 xp 了。我真的很喜欢这支乐队，我听过他们所有的专辑，他们真的很意识流。虽然我其实一直都有听电音，但当时听的都很糖，都是些烂大街的东西。然后又因为一些奇怪的原因接触到了 breakcore，因为这个原因我突然发现了新大陆。 我一直怀疑人是否拥有真切意义上的主观能动性。比如一个决策，你如果什么都不知道，那你的决策就是在瞎蒙，如果知道些什么，那说明就是你知道的这些驱使你去做的这个决定，而不是你。就算你选了一个决策，那大概率还是因为你本身就有选这个决策的倾向，而不是你真的决定了。 因此我突然意识到整个理性主义社会的追责和因果链都是同一个逻辑：个人以上，是可讨论的，个人以下，是你自己的问题。他断在了个人这个点上。比如一个人杀了人，法律不会追究最终让他有杀人倾向的那个人而是直接处决杀手。换句话来说，他把所有的责任都抛给了某个明确的个体，这似乎是不利于体系发展的，但他运作了几千年。 我的一个解释是：即使是今天意识仍然是未解之谜，对于每个人来讲，他人的意识是黑盒，他害怕试图拆开黑盒。再者拆开黑盒的成本过高，以至于无法承担。因此就使用了这种方法。另一方面是人总是得有一个发泄对象的，如果你说一个杀人事件的原因是社会的某个问题，那被害者的家属会怎么看？但我认为随着技术的进步，黑盒逐渐会变得透明，而整个人类逻辑将会被改写。 也许我说的这些都是一些半吊子的话，半瓶水叮当响。 我确实是对其有一定兴趣，但并没有系统性地学习过或者严谨地思考过，我也许只是在胡思乱想。 这也许像一个中二少年装逼日志，那就让他是吧，不然可能过些年也没什么好留念的了。 再者我的语文水平烂的不能再烂了。我写的作文，满地都是雷点，很意识流，而且没有任何文学性的表达（事实上我已经很久很久很久没有读过文学性的书籍了）。虽然有人说我写的有特殊的质感但我更倾向于这种东西并没有什么用处。 不过我确实是着迷于这整个世界是如何运转的。因此我涉猎相对广泛，但也极度皮毛。 也许我有生之年并做不到这一点。但我还是这么期盼着。 人类的文明，人类的社会是一个极其复杂的机器。但这给了渴望的灵魂以无尽的素材。 但这里也藏着最深的悖论，我们拿着人类发明的语言去试图解释他，必然会遇见一定不可调和的矛盾。 而艺术，尤其是音乐，这也给了我一种解构的欲望。 ...

牛牛题。 先讲我自己想到的部分。 首先最大流肯定不好做，做最小割。 然后显然有最小割树。 但现在问题出在如何求最小割上。 一个很大的问题是，你求最小割至少都要考虑所有的即一定是 $\Omega(n)$。 然而如果这样时间复杂度就已经爆了。 我一直的思路都是用数据结构扫描线啊啥的维护发现很难做。（也许可以做？我好像看到有人用 DS，有可能是把不同的步骤在 DS 上合在一起吧。） 然后题解做了个很厉害的事情，他说：平面图我们要想到对偶图。 好的我们考虑他的对偶图。 我们考虑我们求一次最小割，是在做什么事情。 我们发现在对偶图上就是把 $s$ 和 $t$ 伸两条射线出去，然后做对偶图，就是上下两个无限平面的最短路。 如果只是想到这里，我们只是得到了一个 $\Omega(n\log n)$ 的算法，但其实无论如何，这已经优于我们的朴素 DS 了（而且我们的朴素 DS 很难写）。 我们想一下我们的根本诉求是什么，我们的根本诉求是，把这个最小割树转化为其他东西，而不是直接求最小割（因为这样一定会爆）。 但若是我们继续想。我们递归之后做的是什么呢，我们做的其实是把左右分成两半，然后对于左边，就把右边整个缩为一个点，右边同理。 我们首先就是想到，我们无论怎么分，实际上最多只有 $n$ 个无限平面，我们干脆提前分好，然后我们发现我们变成了是选两个无限平面使得最短路最短。 实际上这就是在树上找最近的两个叶子。 我们试图继续用这种找两个的方式选，然后我们想到我们既然不要这两个点，那我们把这俩合起来。我们看其他最小的两个叶子。 Creatively，我们发现我们在做 kruskal。 然后我们不想做 kruskal。 面对 MST 最好用的就是 boruvka。 然后我们使用 boruvka。 我们如何找树上每个叶子最近的不同块的叶子呢。 我们可以使用 DP，从下到上做一遍，从上到下做一遍，记录最小次小即可。 然后我们就建出来了合并无限平面的树。 但我们要得是最小割树。 于是我们再对偶回去即可。 就这个题最本质的 idea 是，你可以“发现你在做一个经典问题然后换一种解法”。比如把 kruskal 换成 boruvka。 这仍然是灵活迁用，更本质的来说，这是把方法之间建立活的联想连接，而不是感觉连接。这对发散性思维有很高的要求。、 然后其他一些重要的是平面图用对偶图。 还有就是提前处理的思想，把无限平面分成 $n$ 个也可能是一个卡点。 还有呢，就是一个贯彻思想的做法。比如你第一下找的是最近叶子，那你肯定也希望接下来也是最近叶子。 透过现象看本质。