Master of Modular Arithmetic

Sat, 06 Jun 2026 17:09:27 +0800

嗯首先我们先思考如何通过模和乘法凑出任意一个数。

我们很容易想到我们可以用两步操作，我们指定一个大质模数（比如 1e9+7），然后我们找 $\cfrac{b}{a} (\mod 10^9+7)$ 作为乘法即可。

然后我们想到把操作的一个点用来做乘和模，然后剩下一个放到最后一个点。

然后我们就可以在 $2n-2$ 次操作内把前 $n-1$ 个都归到任意我们想要的值。

然后我们想把最后一个也归位，但显然只有一个数不行的，我们想想两个数。不妨考虑 $n=2$ 的情况。

我们首先想到，我们如果目的是给一个数乘上一个数且后面一定要取模的话，那实际上我们可以把这个数调得很大（因为你后面肯定要取模，可以加后面那个模数的整数倍）然后这样对另一个数就没有影响了。

然后显然取模你是没有什么办法能避免的。

然后我们还发现最后一次一定会把某个位置的值乘上某个数，这提示我们不妨倒序考虑。

我们相当于说找 $a$ 的一个因子 $x$，使得其 $> b$，然后可以使 $a$ 除以 $x$，$b$ 加上 $x$ 的任意倍。

然后懒了，开始打表。

结果打出来一坨几百个边的图，在 graph editor 里抽搐。

只能推结论了。

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