Continued Fraction Theory

Tue, 28 Apr 2026 23:19:48 +0800

这个东西本质上是用离散的东西去拟合和逼近实数。本质上是整数序列与实数的对应。是用来逼近的，拥有非常良好的性质。

这个东西用我的话来说的话，连分数本身通过截断可以用来近似，而且很好的性质是他是最优有理近似。而且他与这个数本身的性质有着非同寻常的关系，他们在本质上同源。以及他实际上和欧几里得算法是亲戚，本质上都是对东西进行数论上的分解，只不过这个连分数把范围扩大了，扩大到实数，而且还拥有众多其他性质。还有一个点就是他还有另一个出现的形式就是通过若干次分子加分母或者分母加分子也就是 Stern-Brocot 树的形式出现，我感觉这种方式更好出 oi 题。

例题：Square Resistance Value

贴上 DeepSeek 的讲解：

连分数是一个被严重低估的数学工具。它用一串整数编码一个实数，并且这串整数直接给出了该实数的最佳有理逼近序列。下面我从定义开始，逐步推进到关键性质、证明，最后给出你想要的概括。

1. 什么是连分数

一种最常用的形式是简单连分数（Simple Continued Fraction）：

对于实数 $\alpha$，令
$$ \alpha_0 = \alpha, \quad a_0 = \lfloor \alpha_0 \rfloor $$
然后递归定义：
如果 $\alpha_n$ 不是整数，则
$$ \alpha_{n+1} = \frac{1}{\alpha_n - a_n}, \quad a_{n+1} = \lfloor \alpha_{n+1} \rfloor $$
这样会得到一个可能终止的整数序列 $a_0, a_1, a_2, \dots$，记作
$$ \alpha = [a_0; a_1, a_2, a_3, \dots] $$
其含义是： $$ \alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}} $$

Square Resistance Value

Tue, 28 Apr 2026 23:12:23 +0800

很清奇的构造题，以前似乎从来没见过逼近这一块的构造，而且这还是逼近无理数，我说实话开始有点懵。

这个题你如果事先知道连分数理论的话应该是相当简单的。

首先串联是电阻相加，并联是电阻的倒数相加再倒数。

然后一个很厉害的放缩就是你考虑每次在原电路上串联或者并联一个电阻。然后这个时候你发现他会让分子加上分母或者分母加上分子。

这就是 Stern-Brocot 树啊，然后你发现把整个连分数理论套上去基本上就做完了，你直接在 Stern-Brocot 树上二分，然后很容易通过连分数理论证明精度是足够的。

这个题其实就是科技题吧，学会科技就好做了。

Continued Fraction Theory

Maths on Inftopia

Continued Fraction Theory

1. 什么是连分数

Square Resistance Value