排序大师

Fri, 01 May 2026 23:41:21 +0800

厉害厉害厉害！

就是在面对这类的排列的题目，尤其是排序类，一个非常重要的方向就是从图理论出发。

非常经典的就是 $i\to p_i$ 建边，然后每次交换就是可以合并两个环或者拆开两个环，目标是 $n$ 个自环。

然而在这里你发现首先你这样连会导致 $O(n)$ 个边的变动，不可取，我们希望有常数级别的边的变动。

然后一个 native 的想法是你考虑 $p_i\to p_{i+1}$。于是我们得到了一个下界，大概是与目标图的不同边的数量除以 $4$ 向上取整。

但我们很容易发现这个下界相当的松，构造十分的困难况且我们还能举出反例，我们需要一个紧一些的下界，而且另一个原因是，这个链的形状我们实在是不太好刻画，这个链的信息实际上蛮多的，这也是导致下界很松的原因之一。

我们想要的是环，最好是数个数，但正常的方法不行了，怎么办？

这个题目牛逼的来了，他指出：我们可以 $p_i + 1\ to p_{i+1}$。

注意这个是在排列前后添了 $0,n+1$ 的情况下。

我们发现他本质上来讲，是把一条链，进行了错位，把链变成了自环。

其根本思想在于，我们可以通过改变连边方式本身来改变图的性质。

这确乎是一个范式的突破。我们的图理论与排列理论相结合，不再拘泥于那一种的连边方式，而是我们可以尝试多种的，不同的，适配每个题目性质的连边方式，这是前所未有的。

我做这个题目的时候就卡在我根本没有向这个地方想，被这个集体无意识给禁锢住了。

一个顺畅的思考路径应该是想到 native 的想法后想到这个链化为自环然后做完。

这个连边方式跟这个题目的性质有什么适配性呢？这还得从 $i\to p_i$ 说起。

我们说到，这个东西最大的问题在于，他需要更改 $O(n)$ 个，而其根本是他是对段进行操作。

然后我们自然地想到这个我们要把段转化为单点，自然是使用差分。这是差分思想的一种灵活运用。

我们发现我们可以让每个连边关联于他前后的东西，我们最好是希望在进行一系列操作之后，中间的影响恰好被抵消掉了，我们不用管。

然后我们想着要把 $p_i$ 和 $p_{i+1}$ 关联起来，既然如此，我们 $p_i\to p_{i+1}$ 如何？

这就诞生了我们的链。

但我们想要的是环啊，于是我们就把他挪一下，让最终图全是自环。

我们注意到，原图是不重要的，最终图是重要的。

然后变成了 $p_i + 1\to p_{i+1}$。

然后我们发现这个题已经做完了一大半。

我们发现我们每个操作本质上相当于交换对应的两个对这个出边，自然也就是最多多出现两个自环，且奇偶性一定不会变。

我们发现这个下界紧得多，我们试图构造。

我们发现我们本质上就是要每次多两个自环，也就是多两个 $x\to x+1$,$y\to y+1$。

然后我们不难这样构造：我们找到第一个前面有比他大的东西的 $x$，再找 $x$ 前面最大的 $y$，然后你发现 $x-1$ 在 $y$ 前面，$y+1$ 在 $x$ 后边，然后我们按顺序这样拼一下，把 $x-1\to x$ 拼起来，$y\to y+1$ 拼起来即可，不难发现在没排序的情况下总是能找到的。

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