Fedya the Potter Strikes Back

Sun, 30 Aug 2026 23:22:57 +0800

非常有启发性的题目。

首先考虑一下这个静态的怎么做。

就子串匹配这个东西，第一反应是 SA 或者是 Z 函数。

相当于是固定左端点，然后右端点就是一个区间，这非常适合于这类什么区间最小值求和之类的，因为你只要单调栈维护即可。

但是他们是不好在线做的。

然后我们考虑转一下思路，考虑 kmp，kmp 是可以在线的。

乍一看这个 kmp 固定右端点左端点不连续。但他有一个好处是他均摊是对的。

然后我们一个很暴力的想法就是每次前缀直接把他的所有的 border 全都枚举一遍。

这显然糖丸了。

但一个启发是，我们可以实时维护 border。因为一个左端点出来就不会再进去了，然后我们就可以直接维护。

具体来讲我们相当于是搞一个 border 的左端点的 set。然后每次只能要么把不对的一个一个踢掉，然后再把当前的点加进去。

于是问题变成了我们如何快速找到那些不对的。

你注意到一个事情，就是他这个所有的 border 关系形成了一棵树，然后我们每次相当于取一个到根的链。

然后我们每次直接给每个节点维护一个他下一个的字符是他的颜色。

然后我们就相当于要把这个链上所有颜色不对的全干掉。

这是好做的，有各种做法比如倍增。但最好的做法就是你直接记录每个点最靠下的不同色的祖先。然后暴力跳均摊 $O(1)$。

这个东西应该是相当有用的，因为你考虑你严格拓展了 kmp。你不仅知道了这个 border 树是怎么样的，你甚至可以直接实时维护这个 border 是啥。

然后我们具体如何统计最小值之和？

我们都维护了，我们直接给每个 border 维护他们的最小值就可以了。

我们相当于要进行这些操作：加上一个数，全局对 $w$ 取 min，删掉一个数。

他给出了一个相当有趣的做法，你考虑用 map 维护 cnt。

加上一个数直接加。

取 min 就直接暴力把 $>w$ 的全部 erase 了然后加到 $cnt_w$ 上。

删掉一个树直接删。

因为每次 map 不同元素数都只会加减 $1$ 因此均摊是对的。

String on Inftopia